Introduccion a las ecuaciones cuadraticas (Ejercicios)

Ejercicio 1: Asigna a cada una de las parábolas una de las siguientes ecuaciones a) b) c) Ejercicio 2: Analiza si los siguientes puntos pertenecen a la parábola y = x2 – 4x -4 a) (1,-7) b) (3,2) c) (-1,9) d) (0,-4) Ejercicio 3: Calcula ‘b’para que la parábola y=x2 + b x + 3 tenga su vértice en el punto(2,-1). Ejercicio 4: I) Completando cuadrados, halla la forma canónica de la función y = x2 –5x+6. a) ¿Cuál es el coeficiente principal? ¿Qué signo tiene? b) ¿Hacia dónde está abierta la parábola? ¿Por qué? c) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? d) ¿Cuál es el eje de simetría? e) ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes x e y? f) Grafica. II) Repite el ejercicio anterior para la función y = -2×2 +4x+2. Grafica. Ejercicio 5: Expresa las siguientes funciones en forma canónica y grafica.. a) d) b e) c) f) Ejercicio 6: Halla la expresión de la función cuadrática que cumpla los requisitos pedidos en cada caso. Luego determina sus raíces reales, si existen, y grafica. a) Su gráfico pasa por el punto P(1,-1) y su vértice es el punto V = (-2,3). b) Su gráfico intersecta al eje y en P(0 ,3) y su vértice es el punto V = (1,2). c) Una de sus raíces es x =3 y el vértice de su gráfico es . d) El vértice es el punto V = (-2,1) y la ordenada al origen es y = 4. Recuerda: Funciones del tipo: cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2. Las parábolas del tipo , tienen exactamente la misma gráfica que , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c). Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0) Ejercicio 7: Utiliza la expresión más conveniente para hallar una fórmula de la expresión cuadrática f(x) en cada uno de los siguientes casos: a) Tiene coeficiente cuadrático a =3 y pasa por los puntos P = (0,2) y Q = (-2,4). b) Tiene vértice en el punto V = (-1,2) y una de sus raíces es x = 1. c) Tiene raíces en x1 = -4 y x2= 2 y pasa por el punto P =(3, -12). Ejercicio 8: Para cada una de las funciones graficadas a) Exprésalas en forma polinómica. b) Halla sus raíces. Ejercicio 9: Completa el siguiente cuadro a partir de la forma de la función cuadrática indicada

Forma Polinómica	Forma Factorizada	Forma Canónica
y = x2- 5x +6
	y = 2 ( x-1)(x+2)
		y = (x+1)2 -1

Ejercicio 10: Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo, expresa el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. Ejercicio 11: Una mujer tiene un estanque rectangular de 5×3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo: El ancho del camino ha de ser constante en todo el contorno. Si llamamos x a este ancho constante del camino, ¿cuál será la expresión que represente el área A del camino? ¿Para qué valor de x es A = 100? Ejercicio 12: El director de un teatro estima que si cobra $30 por localidad, podría contar con 500 espectadores y que si baja el precio en $1, le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función de cuanto bajó el precio. Ejercicio 13: Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4). Ejercicio 14: Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas: Ejercicio 15: Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4×2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil. Recuerda el gráfico de la función cuadrática. Ejercicio 16: Dada y = x2 + m x + 1, determina m en cada uno de los casos: a) f(-2) = 8 b) Que la gráfica contenga al punto P(3,3). c) Pase por el origen de coordenadas. d) Que la función tome un valor mínimo en x = -1. Ejercicio 17: La función y = x2 – bx + 3 admite un extremo para x = 4. Calcula el valor de este extremo. ¿Es máximo o mínimo? Ejercicio 18: Una ventana tiene forma de rectángulo con un triángulo equilátero es su parte superior. Si el perímetro de la ventana es de 4 m, determina el ancho de la ventana para que el área sea máxima. Recuerda que un triángulo equilátero es aquel que tiene todos sus lados iguales y por lo tanto todos sus ángulos iguales a 60º. Ejercicio 19: Se desea construir una casa de forma rectangular en un ángulo recto de un terreno triangular. Recuerda que un ángulo recto es un ángulo de 90º. a. Obtiene a en función de x. b. Obtiene el área de la casa en función de x. c. ¿Para qué valor de x, el área de la casa es máxima? Ejercicio 20: El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función: f(x) = – x2 + 40x + 84, donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula: a. ¿Cuántas personas enferman el quinto día? b. ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad? c. ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad? Ejercicio 21: Determina las ecuaciones de estas dos funciones, así como los puntos en los que se cortan, en forma gráfica y analítica: Ejercicio 22: Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2×2 + 4x. A 1 Km. del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x – 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto. Recuerda que las posiciones relativas de una recta y una parábola son: según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.